常用的数学基础知识集锦


介绍在机器人控制中常用的基础数学知识。(持续更新中….)

一、前言

泰勒级数、矩阵指数函数、向量的斜对称矩阵、向量叉乘是在机器人控制中常用的基本数学知识,本文对这些知识做一个汇总,为将来的机器人研究做铺垫。为了能正常浏览公式,推荐使用Chrome浏览器,并添加一款名为TeX All the Things的插件。在Markdown文本中编写公式的语法参见如下链接:Markdown文本中编辑数学公式的语法规则

通过上述语法规则所编写的大部分公式可以通过浏览器正常观看,但是矩阵除外。为了能正确显示矩阵,可以通过在线LaTeX公式编辑器将公式转为.png(建议分辨率为120),再插入文中。

如果仍然觉得麻烦,可以到我的CSDN查看同步文章,链接如下:

常用的数学基础知识集锦

二、矩阵指数函数及泰勒级数

常用的矩阵指数函数如下所示。

正弦、余弦函数的泰勒级数展开如式(2-4)~(2-5)所示。

三、一阶线性微分方程的解法

给出一个一阶线性微分方程:

即:

将式(3-2)变形,可得:

对上式两边进行积分:

即:

上式中,$C$是常数,对上式两边取指数,有:

式(3-6)中,$y(0)$表示$y(t)$在零时刻的取值。

四、斜对称矩阵的定义及性质

定义向量 $\pmb\omega =
\begin{bmatrix}
\omega_1 & \omega_2 & \omega_3
\end{bmatrix}^{\mathrm T}$ 及其斜对称矩阵(又称为反对称矩阵) $\pmb{\bf{\hat \omega }}$ 为:

斜对称矩阵的性质如下:

五、向量的叉乘

向量的叉乘,又称为向量积。

1.向量积的模长

两个平面向量$\pmb a$、$\pmb b$的叉乘记为$\pmb a \times\pmb b$,模长的计算方法如下:

2.向量积的方向

方向为:向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从 $\pmb a$ 以不超过180度的转角转向 $\pmb b$ 时,竖起的大拇指指向是叉乘的方向。)


在上图中,$\pmb a \times\pmb b$ 的方向是垂直指向屏幕外侧。

3.向量积的物理意义

物理意义:向量的叉乘常用来表示平行四边形的面积。从上图可以看出:$\pmb a \times\pmb b$ 表示的是平行四边形面积,$\pmb a \times\pmb c$ 表示的是矩形面积,显然有:

这意味着,$\pmb a$ 与任意以 $\pmb a$ 所在直线上一点为起点、以 $\pmb b$ 的终点为终点的向量进行叉乘,得到的结果都是一样的。

4.向量积与斜对称矩阵

将二维平面内的向量拓展到三维空间,若$\pmb a =
\begin{bmatrix}
a_1 & a_2 & a_3
\end{bmatrix}^{\mathrm T}$与$\pmb b =
\begin{bmatrix}
b_1 & b_2 & b_3
\end{bmatrix}^{\mathrm T}$进行叉乘,则有如下结果:

06$\tag{5-3}$

上式建立起了向量叉乘与向量斜对称矩阵之间的联系。

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